基数変換とは
基数変換とは、異なる進数（数の表現方法）の間で数値を変換する操作のことです。
進数は「基準となる数」を意味し、例えば、私たちが普段使う「10進数」では、基準となる数は10です。
10進数では、0から9までの10個の数字を使って数を表現します。
基数変換では、この10進数以外の進数、たとえば2進数（0と1）や16進数（0からFまで）を扱い、互いに変換することが重要です。
コンピューターサイエンスの分野では、2進数、8進数、16進数といった進数がよく使われます。
基数変換を正しく理解することは、プログラミングやデジタル機器の動作を理解する上で不可欠です。
コンピューターでよく使用する基数
2進数 (Binary)
2進数は、コンピューターの内部でデータを処理する際に使用される基本的な進数で、0と1の2つの数字だけで表現します。
デジタル回路はON（1）とOFF（0）という2つの状態で動作するため、2進数が自然に使われています。
8進数 (Octal)
8進数は、0から7までの8つの数字を使って数を表現します。
歴史的にはコンピュータープログラミングの一部の分野でよく使われていましたが、現在では16進数の方がより一般的です。
10進数 (Decimal)
10進数は、私たちが日常的に使っている数の表現方法です。0から9までの10個の数字を使います。
コンピューターの出力やユーザーインターフェースでは通常、10進数で数が表示されます。
16進数 (Hexadecimal)
16進数は、0から9とA(10)からF(15)までの16個の数字（文字）を使います。
コンピューターのメモリアドレス、データの効率的な表現、ウェブカラーコードなどで広く使われています。
1桁の16進数は、2進数の4桁と対応しているため、2進数との相互変換が簡単です。
基数変換の方法
基数変換の基本的な方法として、「n進数から10進数への変換」と「10進数からn進数への変換」があります。
これらの変換は、重み（各桁の位置に応じた基数の累乗）を使う方法や、割り算・かけ算を使った手法で行われます。
n進数から10進数への変換
任意の進数（n進数）を10進数に変換するためには、各桁に基数の累乗を掛けて、すべてを足し合わせます。
これによって、10進数での値が求められます。
例: 2進数 1101 を 10進数に変換する手順
- 各桁に基数（2）の累乗を掛ける:
- \( 1 \times 2^3 = 8 \)
- \( 1 \times 2^2 = 4 \)
- \( 0 \times 2^1 = 0 \)
- \( 1 \times 2^0 = 1 \)
- すべてを足し合わせる: 8 + 4 + 0 + 1 = 13
よって、2進数 1101 は、10進数では 13 です。
10進数からn進数への変換
10進数を任意のn進数に変換するには、その進数で割り算を繰り返し行い、商が0になるまで計算します。
その際、余りを記録し、最終的に余りを逆順に並べるとn進数が得られます。
例: 10進数 45 を 2進数に変換する手順
- 45を2で割る: 商 22, 余り 1
- 22を2で割る: 商 11, 余り 0
- 11を2で割る: 商 5, 余り 1
- 5を2で割る: 商 2, 余り 1
- 2を2で割る: 商 1, 余り 0
- 1を2で割る: 商 0, 余り 1
余りを下から順に並べると、45の2進数は 101101 です。
2進数と8進数の基数変換
2進数と8進数の間の変換は非常に簡単です。
2進数を3桁ごとに区切り、それぞれの3桁を1桁の8進数に変換するだけです。
なぜなら、3桁の2進数は8つの異なる値（0〜7）を表現でき、それがそのまま8進数の範囲に対応するからです。
例: 2進数 110101 を 8進数に変換する手順
- 右から3桁ずつ区切る:
110101 - 各グループを8進数に変換する:
- 110 = 6
- 101 = 5
- これを並べると、8進数では 65 になります。
逆に、8進数から2進数への変換も同様に、各桁を3桁の2進数に置き換えます。
2進数と16進数の基数変換
2進数と16進数の間の変換も同様に簡単です。
2進数を4桁ごとに区切り、それぞれを1桁の16進数に変換します。
4桁の2進数は16通りの値を表現でき、これは16進数の 0〜F に対応しています。
例: 2進数 110111001011 を 16進数に変換する手順
- 右から4桁ずつ区切る:
110111001011 - 各グループを16進数に変換する:
- 1101 = D
- 1100 = C
- 1011 = B
- これを並べると、16進数では DCB になります。
16進数から2進数への変換も、同様に各桁を対応する4桁の2進数に変換します。
まとめ
試験や実務でよく問われる基数変換のポイントを以下にまとめます。
- n進数から10進数への変換: 各桁に基数の累乗を掛けて計算し、すべてを足し合わせる。
- 10進数からn進数への変換: 対象の基数で割り算を繰り返し、余りを逆順に並べる。
- 2進数と8進数の変換: 2進数を3桁ずつ区切り、それを8進数に変換する。
- 2進数と16進数の変換: 2進数を4桁ずつ区切り、それを16進数に変換する。
基数変換の基本をしっかり理解しておけば、コンピューターサイエンスの試験やプログラムの動作理解に大いに役立ちます。
特に、手計算で基数変換を行うスキルは、アルゴリズムやプログラムのデバッグで有用です。
日常的に基数変換を練習し、さまざまな進数での数値表現に慣れておくことが大切です。
この記事が基数変換の理解に役立つことを願っています。実際の試験やプログラミングに活かしてみてください。
コメント