概要
熱交換器などの熱量計算では、温度差を求めることが重要です。
しかし、伝熱によって流体の温度が変化し、入口と出口で異なる場合、どの区間で温度差を取るべきか判断が難しくなります。
そこで、高温流体と低温流体の入口と出口の温度を用いて、装置全体の代表的な温度差を計算し、これを熱量計算に利用します。
この温度差を「対数平均温度差 (LMTD)」と呼びます。
LMTDは、英語で「Logarithmic Mean Temperature Difference」の略称で、一般に高温流体と低温流体がワンパスで向流接触する場合の伝熱における対数平均温度差は次の式で表されます。
$$
\Delta T_{lm} = \frac{(T_{h1} – T_{c2}) – (T_{h2} – T_{c1})}{\ln \left( \frac{T_{h1} – T_{c2}}{T_{h2} – T_{c1}} \right)}
$$
ここで、
- \( T_{h1} \) ：高温流体の入口温度
- \( T_{h2} \) ：高温流体の出口温度
- \( T_{c1} \) ：低温流体の入口温度
- \( T_{c2} \) ：低温流体の出口温度
対数平均温度差の導出
対数平均温度差は、化学工学でよくある導出方法を用いて得られます。
まず、長さ \( L \) の伝熱管における任意の微小区間 \( \Delta z \) において、高温流体と低温流体それぞれの熱収支を取ります。
高温流体の微小区間での熱収支は以下のように表されます。
$$
\Delta Q = -W_h C_{ph} \Delta T_h
$$
ここで、
- \( \Delta Q \) ：微小区間での交換熱量 [W]
- \( W_h \) ：高温流体の質量流量 [kg/s]
- \( C_{ph} \) ：高温流体の比熱 [J/(kg K)]
同様に、低温流体の熱収支は以下のようになります。
$$
\Delta Q = -W_c C_{pc} \Delta T_c
$$
ここで、
- \( \Delta Q \) ：低温流体に対する交換熱量
- \( W_c \) ：低温流体の質量流量
- \( C_{pc} \) ：低温流体の比熱
これらの収支式に基づき、伝熱の関係式を考慮した結果、次の式が得られます。
高温流体と低温流体の温度差に基づいた微小な温度変化を積分することで、対数平均温度差が導出されます。
次の式は、その導出過程の一部です。
$$
\frac{d(T_h – T_c)}{T_h – T_c} = -U_o \pi D_o \left( \frac{1}{W_h C_{p_h}} – \frac{1}{W_c C_{p_c}} \right) dz
$$
この式を積分し、温度差と管長さについて整理すると、次のように対数平均温度差が導かれます。
$$
\ln \left( \frac{T_{h1} – T_{c2}}{T_{h2} – T_{c1}} \right) = U_o \pi D_o L \left( \frac{1}{W_h C_{p_h}} – \frac{1}{W_c C_{p_c}} \right)
$$
総括伝熱量とLMTDの関係
最後に、全体の熱交換量Qを高温流体および低温流体における熱収支式から求めます。
$$
Q = W_h C_{p_h} (T_{h1} – T_{h2}) = W_c C_{p_c} (T_{c2} – T_{c1})
$$
この熱量 \( Q \) は、対数平均温度差を用いた次の式でも表されます。
$$
Q = U_o A_o \Delta T_{lm}
$$
このようにして、伝熱の基本原理に基づき対数平均温度差が導出され、熱交換器における熱量計算に応用されます。
まとめ
対数平均温度差 (LMTD) は、異なる温度条件下での伝熱計算において、代表的な温度差として利用される重要な概念です。
熱交換器の設計や性能評価において、LMTDを正確に理解し、適用することで、より効率的な伝熱設計が可能になります。
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