概要
ベルヌーイの定理は、流体に関するエネルギー保存則を示す重要な法則です。
特に、圧縮性と粘性のない完全流体に適用されます。
以下の数式で表されます。
$$
\frac{{v_2}^2 – {v_1}^2}{2} + g(z_2 – z_1) + \frac{P_2 – P_1}{\rho} = 0
$$
この式の各項は、それぞれ運動エネルギー、位置エネルギー、圧力を表しており、流体が持つエネルギーの総和を示します。
さらに、これらのエネルギーが相互に変換可能であることを意味します。
特に工業分野では、ポンプで圧力を加えることで流体を高所に持ち上げることができる点が重要です。
例えば、プラントでは装置が高い位置に設置されることが多く、そこまで流体を運ぶためにエネルギーの計算が必要になります。
ベルヌーイの定理を基に、ポンプ揚程を計算することができます。
ベルヌーイの定理の導出
ベルヌーイの定理は、流体のエネルギー収支に基づいて導出されます。
完全流体（粘性がない流体）では、エネルギー損失は無視できるため、各エネルギー項を計算することができます。
各エネルギー項の定義
- 運動エネルギー:
$$
\frac{1}{2} m v^2
$$ - 位置エネルギー:
$$
mgz
$$ - 圧力による仕事（力×距離）:
$$
P A \cdot x
$$
ここで、
- \( m \) ：質量 [kg]
- \( v \) ：速度 [m/s]
- \( g \) ：重力加速度 [m/s²]
- \( z \) ：高さ [m]
- \( P \) ：圧力 [Pa]
- \( A \) ：面積 [m²]
- \( x \) ：移動距離 [m]
これらのエネルギーはすべて単位が \( kg \cdot m^2 / s^2 = N \cdot m = J \) （ジュール）で表され、流体のエネルギー収支を取る際に使用されます。
流量とエネルギーの関係
流体の質量は、密度 \( \rho \) [kg/m³] と体積流量 \( F \) [m³/s] を用いて以下のように表されます。
$$
m = \rho F \cdot dt
$$
また、体積流量 \( F \) は、断面積 \( A \) [m²] と流速 \( v \) [m/s] を用いて、
$$
F = A v
$$
さらに、流体の移動距離 \( x \) は流速 \( v \) と時間 \( dt \) の積として表されます。
$$
x = v \cdot dt
$$
このようにして、流管の入口と出口のエネルギーが保存されていると仮定すると、次の式が得られます。
$$
\frac{1}{2} ρ F_1 dt {v_1}^2 + ρ F_1 dt \cdot g \cdot z_1 + P_1 A_1 \cdot v_1 dt = \frac{1}{2} \rho F_2 dt {v_2}^2 + \rho F_2 dt \cdot g \cdot z_2 + P_2 A_2 \cdot v_2 dt
$$
この式は、左辺が流管の入口、右辺が出口でのエネルギーを示しています。
体積流量 \( F \) はどの場所でも一定であるため、次の関係が成り立ちます。
$$
F_1 = F_2 = v_1 A_1 = v_2 A_2
$$
この関係を流管の入口と出口のエネルギー保存則に代入し、両辺を \( \rho v_1 A_1 dt \) で割ると、次の形になります。
$$
\frac{1}{2} {v_1}^2 + g z_1 + \frac{P_1}{\rho} = \frac{1}{2} {v_2}^2 + g z_2 + \frac{P_2}{\rho}
$$
これを変形すると、ベルヌーイの定理が導出されます。
$$
\frac{{v_2}^2 – {v_1}^2}{2} + g(z_2 – z_1) + \frac{P_2 – P_1}{\rho} = 0
$$
ポンプ揚程計算における水頭の概念
式 (7) の両辺を重力加速度 \( g \) で割ると、エネルギーの各項は水頭（高さ）の単位で表されます。
$$
\frac{{v_1}^2}{2g} + z_1 + \frac{P_1}{\rho g} = \frac{{v_2}^2}{2g} + z_2 + \frac{P_2}{\rho g}
$$
このとき、全エネルギー水頭 \( H \) [m] は次のように定義されます。
$$
H = \frac{v^2}{2g} + z + \frac{P}{\rho g} = \text{一定}
$$
各項は次のように呼ばれます。
- 速度水頭: \( \frac{v^2}{2g} \)
- 位置水頭: \( z \)
- 圧力水頭: \( \frac{P}{\rho g} \)
この式は、ポンプの揚程計算における基礎式となります。
現実の粘性流体への拡張
現実の流体は粘性があり、摩擦などによるエネルギー損失が発生します。
これに対応するため、エネルギー損失項を追加します。
$$
H = \frac{v^2}{2g} + z + \frac{P}{\rho g} + h_f + h_l
$$
- \( h_f \) : 摩擦損失水頭（配管壁面での摩擦によるエネルギー損失）
- \( h_l \) : 形状損失水頭（急激な拡大・縮小や曲がり部でのエネルギー損失）
したがって、ポンプ揚程を計算する際には、エネルギー損失分を考慮して揚程を決定する必要があります。
まとめ
本記事では、ベルヌーイの定理を基にした流体のエネルギー保存則と、ポンプ揚程計算の基礎式について解説しました。
ベルヌーイの定理は、工業分野で特に重要で、流体を効率よく運搬するために欠かせない理論です。
運動エネルギー、位置エネルギー、圧力の3つのエネルギー項が流体の動きにおいて保存され、それぞれが相互に変換可能であることが示されました。
さらに、ポンプの設計や選定には、流体を所定の高さに持ち上げるための揚程計算が必要不可欠です。
完全流体の理想的なモデルに加え、現実の粘性流体への適用ではエネルギー損失項を考慮する必要があります。
これにより、配管摩擦や流路の形状によるエネルギー損失を補正し、適切なポンプ選定が可能となります。
この基礎的な理解を深めることで、プラント設計や流体輸送システムの最適化に役立てることができるでしょう。
ポンプの効率的な運用には、正確な揚程計算が重要な役割を果たします。
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