ポンプの全揚程の計算について

コンテンツ

概要
ポンプの全揚程の計算方法
1. 全揚程の計算の基礎式
2. 計算例
おわりに

概要

ある量の液体をくみ揚げる高さのことを揚程といいます。

上から下に液体を輸送する場合には重力でそのまま落下させればよいですが、下から上に輸送する場合にはポンプでエネルギーを加えて液体をくみ揚げる必要があります。

しかし、単純にくみ揚げたい高さ分のエネルギーだけ加えても、実際にはその高さまで液体はくみ揚がりません。
なぜなら流体がくみ揚がる際に通過する流路で摩擦によるエネルギー損失が起こり、途中でエネルギーが足りなくなるからです。

あるいは液体をくみ揚げる先の出口圧力が高いと液体が押さえつけられるため、余分にエネルギーを必要とします。

したがって、くみ揚げたい高さ（実揚程）分のエネルギーにプラスして、摩擦によるエネルギー損失分や入口出口の圧力差分のエネルギーを加える必要があります。

これら全てのエネルギーを合計し、ポンプの揚程として表したものを全揚程といいます。

ポンプの全揚程の計算は流体力学の中で基礎的な計算でありながら、非常に重要です。

本記事ではポンプの全揚程の計算について紹介します。

ポンプの全揚程の計算方法

全揚程の計算の基礎式

ポンプの全揚程計算で使用する基礎式はベルヌーイの定理です。
ベルヌーイの定理を基にした現実の流体に適用する式は次のように表されます。

$$
H = \frac {{v_2}^2 – {v_1}^2}{2g} + H_a + \frac{P_2 – P_1}{\rho g} + h_f + h_l
$$

$ H $ ：全揚程 [m]
$ v_1 $, $ v_2 $ ：入口出口の流速 [m/s]
$ g $ ：重力加速度 [m/s²]
$ H_a $ ：実揚程 [m]
$ P_1 $ , $ P_2 $ ：入口出口の圧力 [Pa]
$ \rho $ ：流体密度 [kg/m³]
$ h_f $ ：摩擦損失水頭 [m]
$ h_l $ ：形状損失水頭 [m]

この式の各項は次のように分類されます。

速度水頭：$ \frac{{v_2}^2 – {v_1}^2}{2g} $
実揚程：$ H_a $
圧力水頭：$ \frac{P_2 – P_1}{\rho g} $
摩擦損失水頭：$ h_f $
形状損失水頭：$ h_l $

これら5つの項目を全て足し合わせることで、ポンプの全揚程 $ H $ を計算できます。

計算例

ここでは、以下のような配管システムを例にして計算を行います。

流体密度：1,000 kg/m³
流体の質量流量：30,000 kg/h
吸込み側装置内圧力：0.2 MPaG
吐出し側装置内圧力：0.4 MPaG
吸込み側タンク内径：4 m
吸込み側配管内径：80 mm
吐出し側配管内径：100 mm
吸込み側の直管長さ：25 m
吐出し側の直管長さ：30 m
配管の摩擦損失係数：f = 0.004
形状損失：90°エルボ×2、グローブ弁1個（全開）

1. 速度水頭の計算

まず、配管内の流速を計算します。

吸込み側の流速 $ v_1 $ と吐出し側の流速 $ v_2 $ は、流量と配管の断面積を用いて計算します。

吸込み側流速 $ v_1 $ ：$ v_1 \fallingdotseq 6.63 × 10^(-4) m/s $
吐出し側流速 $ v_2 $ ：$ v_2 \fallingdotseq 1.06 m/s $

この流速を用いて、速度水頭を計算します。

$$
\frac{{v_2}^2 – {v_1}^2}{2g} = \frac{1.06^2 – (6.63 × 10^{-4})^2}{2 × 9.8} \fallingdotseq 0.057 m
$$

2. 実揚程の計算

次に、吸込み位置と吐出し位置の高さの差である実揚程を計算します。

$$
H_a = z_2 – z_1 = 9 m – 4 m = 5 m
$$

3. 圧力水頭の計算

吸込み側と吐出し側の圧力差から圧力水頭を計算します。

$$
\frac{P_2 – P_1}{\rho g} = \frac{\left(0.4 − 0.2\right) \times 10^6}{1000 \times 9.8} \fallingdotseq 20.408 m
$$

4. 摩擦損失水頭の計算

摩擦損失水頭は、ファニングの式を使用して計算します。

吸込み側：$ h_{f1} \fallingdotseq 0.701 m $

吐出し側：$ h_{f2} \fallingdotseq 0.276 m $

5. 形状損失水頭の計算

最後に、90°エルボとグローブ弁の形状損失を計算します。

配管は直管だけで構成されているわけではなく、実際は曲がり部や拡大・縮小部、弁などの様々な形状をした流路が間にあります。

形状損失水頭h_lはそのような特殊形状部の損失水頭を全て計算し、足し合わせた値となります。

吸込み側90°エルボ：$ h_{l1} \fallingdotseq 0.072 m $

吐出し側90°エルボ：$ h_{l2} \fallingdotseq 0.029 m $

グローブ弁：$ h_{l3} \fallingdotseq 0.276 m $

6. 全揚程の合計

最後に、全ての項目を合計して全揚程を算出します。

$$
H = 0.057 + 5 + 20.408 + 0.701 + 0.276 + 0.072 + 0.029 + 0.276 \fallingdotseq 26.8 m
$$

全揚程が計算できればポンプのH-Q性能曲線を見て、運転したい流量で全揚程が足りるかどうかを確認します。

足りなければそのポンプでは性能不足のため、ポンプを更新する必要があります。

おわりに

ポンプの全揚程の計算方法について解説しました。

一度計算式を作ってしまえば、次回以降は入力条件を変更するだけで簡単に計算できます。
ポンプの性能評価や設計の際に活用してみてください。